수학 세상(Mathworld): 05/06/11

교재연구1 - 야외수업

야외수업의 실례를 보며 스스로도 구성해 보자.

1. 사전준비

성공적인 야외수업이 이루어지기 위해서는 수업의 기획자라고 할 수 있는 교사의 잘 짜여진 사전준비와 계획이 필요하다.

교정을 사전 답사하여 적당한 장소 ― 그늘지고, 앉을 자리가 있으며, 경치가 좋은 곳 ― 16군데를 고른다(48명 기준).

(2) 고른 장소를 학생들이 옮겨 다니는 길을 고려하여 A에서 P까지 순서대로 배치한다.

(3) 학생 16명을 지킴이로 선정한다. ― 단순히 공부 잘하는 학생을 뽑을 것이 아니라, 해당 단원의 학습 내용에 대한 성취도가 높은 학생을 사전에 쪽지시험 등을 통해 파악하는 것이 필요하다.

(4) 나머지 학생들을 2인 1조로 하여 역시 16개조로 나눈다.

(5) 지킴이에게 나누어줄 자료(문제)를 16부 준비한다.

(6) 수업의 의의, 진행 방법과 지킴이가 할 일에 대하여 학생들에게 간단히 설명한다.

2. 진행 방법

16명의 지킴이는 선생님께 문제를 받아 A에서 P가운데 자기 지점으로 가 머문다. 2인 1조의 16조는 16개의 지점으로 흩어져 지킴이의 도움과 함께 해당 지점의 문제를 풀고 옆 지점으로 옮긴다. 16지점을 다 돌고 나면, 휴식장소로 와서 선생님에게 지킴이의 싸인을 검사받는다.

3. 이런 점에 신경을 쓰자.

(1) 너무 덥거나 춥지 않은 봄, 가을철이 적당하다.

(2) 계산 문제가 많은 단원의 연습문제가 적당하고, 문제의 수준은 복습용으로서 난이도가 중인 것이 적당하다.

(3) 학생들이 옮겨 다니는 길이 너무 길어지지 않도록 한다.

4. 지킴이가 할 일

(1) 찾아오는 학생들에게 자기 지점 문제를 보여주고, 풀게 한다.

(2) 답이 맞으면 싸인을 해 주고, 다음 지점의 위치를 가르쳐 준다.

(3) 답이 틀리면 풀이 과정에서 잘못된 곳을 지적해주고, 바로 다시 풀 수 있게 도와 준다.

(4) 틈틈이 시간을 내어 A에서 P까지의 문제를 스스로 푼다.

교재연구 3 - 가볍게 읽는 확률이야기

▶ 도박에서 시작된 확률

아주 먼 옛날부터 놀이는 인간 생활의 일부였다. 놀이를 하다 보면 내기도 걸게 되고 그러다 보면 어떻게 해야 이길 수 있을까 하는 생각도 하게 된다. 이런 과정을 거쳐 확률이 만들어졌다. 카르다노(Cardano, 1501-1576)는 주사위 놀이와 같은 어떤 도박 경기에서 이길 가능성을 계산하여, 도박사를 위한 짤막한 안내문을 썼다. 그가 가장 먼저 풀었다고 하는 문제는 '지금 두 개의 주사위를 동시에 던져서, 나온 수의 합에다 내기를 건다고 하면, 합이 얼마가 될 때 내기에 가장 유리한가' 이다.

▶ 확률론의 기원 ― 득점의 문제

1654년, 도박사 드 메레는 '같은 실력을 가진 두 경기자 A와 B에 대하여 경기가 중단된 상황에서 A가 승리하기 위해서는 2득점이 더 필요하고 B가 승리하기 위해서는 3득점이 더 필요한 경우에 판돈을 어떻게 분배하나' 의 문제를 파스칼(Pascal, 1623-1662)에게 제시하였고, 파스칼은 페르마(Fermat, 1601-1665)와 편지를 교환하면서 각각 다른 방법을 통해 정확히 풀어 내었다. 파스칼과 페르마가 확률에 대한 수학 이론의 바탕을 다진 것이다.

▶ 수학적 기대 값의 등장

1657년 호이겐스(Huygens, 1629-1695)는 '수학적 기대값'이라는 중요한 개념을 소개했다. 어떤 사람이 상금을 받을 확률을 그것의 수학적 기대값이라 하였다.

18세기에 보험업이 크게 성행하였고 많은 수학자들이 이것의 기초가 되는 확률론에 관심을 갖게 되었다. 드 뷔퐁(De Buffon, 1707-1788)은 1777년에 기하학적 확률의 최초의 예인 값에 관련된 유명한 '바늘문제' 길이가 L인 바늘을 간격이 L인 평행선이 그어져 있는 한 평면에 던질 때, 바늘이 이 평행선들 중의 하나와 만나게 될 확률은 얼마인가? '

▶ 확률론의 체계화

1812년에 라플라스(Laplace, 1749-1827)는 해석적 확률론으로 고전 확률론의 체계를 완성하였는데 그 출발점이 된 확률의 정의는 다음과 같다.

'어떤 시도를 할 때, 일어날 수 있는 모든 경우의 수가 N개 있고, 그 N개의 경우가 같은 가능성으로 일어난다고 믿을 수 있다면, 이 N개의 경우 중 우리들이 기대하는 사건의 경우의 수가 R개인 경우, 그 사건이 일어날 확률은 R/N이다.'

수학자 - 레온하르트 오일러

레온하르트 오일러는(Leonhard Euler)는 18세기의 가장 뛰어난 수학자라 할 수 있다. 업적의 양이나 질에 있어서 어느 수학자도 오일러를 능가하기는 어렵다. 일생 동안 500여 편의 저서와 논문을 발표하였고, 현재까지 나온 전집만 해도 75권에 이른다. 심지어 그가 시력을 완전히 상실하였을 때에도 서기에게 받아쓰게 하면서 물 흐르듯 쏟아지는 연구 활동은 위축되지 않고 계속되었다. 오일러가 살아 있는 동안 과학 잡지나 학술지들은 실을 글이 떨어질까봐 걱정할 필요가 없었다. 또한 그가 죽은 후 43년이 지나서야 그의 저서들을 모두 출판할 수 있었다고 한다.

오일러에 얽힌 재미있는 일화가 있다. 러시아의 에카테리나 2세는 선진 문화 수입을 위해 유럽 각국의 학자와 문인을 초빙하였는데 그 중에는 프랑스의 철학자이자 사상가인 디드로도 있었다. 무신론자 디드로는 해박한 지식과 말솜씨로 러시아 궁중의 귀부인들을 사로잡았다. 이에 많은 사람들이 무신론에 빠져들 것을 염려한 에카테리나는 꾀를 내어 신이 존재한다는 것을 증명할 수 있는 수학자와의 공개 시합을 디드로에게 제의했다. 이윽고 오일러가 나타나 위대한 수학자답게 위엄을 갖추고 디드로에게 다음과 같이 말했다.

"(a+bn)/n=x이다. 따라서 신은 존재한다. "수학에 대한 초보적인 지식도 없었던 디드로는 한마디 대꾸도 못하고 프랑스로 돌아가 버렸다고 한다.

또한 오일러는 친절하고 너그러운 사람으로 알려져 있다. 그는 행복한 결혼 생활을 하였고 아이들을 좋아해서 13명의 자녀를 두기도 했다. 그는 무릎에 어린 아이를 올려놓고 자식들과 손자들에 둘러싸여 인형극을 보면서도 자신의 계산에 몰두할 수 있었다. 오일러는 제자들을 가르치는 것을 좋아했고, 그가 쓴 인상 깊은 저작을 더욱 알기 쉽게 하기 위해 새로운 글이 필요한 경우 주저 없이 글을 썼고 자신의 평판이 떨어지는 것을 두려워하지 않았다.

그는 또한 그가 쓴 교과서로도 아주 유명하다. 그의 교과서는 명료하고 알기 쉬웠으며, 수학적인 기호를 잘 선택해서 기초적인 수학 개념을 분명히 하고 있다. 당시 그의 책은 영향력이 아주 커서 그 이후의 수학자들은 그의 스타일과 기호 형식을 본받게 되었다. 그가 쓴 유명한 교과서인 '무한 해석학 서론'으로부터 오늘날 우리가 사용하는 거의 모든 수학 기호가 표준화되었다. 기호 e, i, f(x) 와 그 외 많은 기호들이 오일러의 작품이다.

오일러의 자취는 어느 수학 교과서에서나 발견할 수 있다. 그는 수학의 여러 분야 뿐만 아니라 물리학 분야에서도 뛰어난 업적을 남겼다.

수학용어, 이런 말은 고칩시다.

수학 교과서와 학교 수업에서 쓰이는 말 가운데 한글로 쓰여 있기는 하나 우리말이라고 볼 수 없는 것, 우리말법이 아니어서 어색한 것들을 살펴보자.

* 위의 물음에서와 같이 →위의 물음과 같이

* 직선 위의 점과 실수와는 서로 →직선 위의 점과 실수는 서로

* 실수에 있어서의 사칙연산에 관한 모든 법칙은 복소수에 대해서도 성립함을 → 실수의 사칙연산에 관한 모든 법칙은 복소수에서도 성립함을

* 제곱근에 의한 풀이 → 제곱근으로 풀기, 제곱근을 이용한 풀이

* 매 단계를 점검하면서 → 단계마다 점검하면서

* 절대값과 부등식 사이의 다음 관계가 성립 →절대값과 부등식 사이에 다음 관계가 성립

* 방정식의 풀이에서와 마찬가지로 → 방정식의 풀이와 마찬가지로

* 방정식 으로 나타내어지는 도형을 → 방정식 으로 나타나는 도형을

* 평행 이동에 의하여 어떤 점이 → 평행 이동으로 어떤 점이

* 그 중의 한 영역 내의 임의의 한 점이 → 그 가운데 한 영역 안의 임의의 한 점이

* 원의 내부(외부)에서 → 원의 안쪽(바깥쪽)에서

첫시간, 고민되시죠?

첫 단추를 잘 꿰어야한다는 말이있다. 늘 3월 새학기 첫수업, 어떻게 출발할까 고민하지만 좀처럼 묘안이 떠오르지 않는다. 다른 선생님의 방법을 살펴 보는것도 의미있는 일이리라. 선생님들은 첫시간에 자기소개를 어떻게 하고 계실까?

* 카리스마적인 이미지를 심어주는 방법이 있다. "나는 신이다. 나를 따르라. 죽어도 따라 죽고 틀려도 따라 틀려라. 왜냐, 나는 신이니까." *은근히 협박을 하기도 한다. "나 보기 보다 무서운 사람이다." 특히 여선생님들께서 자주 사용하는 방법이다. *재미있는 협박형도 있다. "관악산에 왜 그렇게 무덤이 많은지 아니? 말 안 듣다가 나한테 맞아 죽은 애들 무덤이다."

* 학생들과 부드러운 관계를 만들어 자칫 딱딱해지기 쉬운 수학 시간을 조금이라도 재미있게 진행하려는 의지를 보여준다. "잘 부탁드려요. 여러분들이 수업에 성의를 조금이라도 보여 준다면 여러분들이 너무도 예뻐보일 것 같아요."(요즘 아이들에게 이런 유화책이 잘 통할는지…)

* 한자 이름 풀이를 해보는 것도 좋은 방법이다.

선생님께서 학생들이 공부하는데 지표가 될만한 좋은 말씀을 해주신다면 나름대로 의미가 있으리라 생각된다. 선생님들께서는 주로 어떤 말씀을 해주실까?

* 선생님의 파편은 대학 가는 보약이다.

* 교사는 랜턴(손전등)이 아니고 지켜보는 자에 불과하다. 보물은 스스로 찾는 것이다.

* 선생님은 학생하기 나름이다.

* 수학은 연필 끝에서. 답은 머리에서 나오는 것이 아니고 과정을 논리적으로 전개하다 보면 연필 끝에서 나온다고…

* 수학 선생님은 곧 수학이다. 수학을 싫어하는 것은 선생님을 싫어하는 것과 같다. 수학책은 선생님의 얼굴이다. 따라서 책에 낙서하는 것은 어떤 행위인지 알지?

어려운 점은 많지만 선생님들께서 아이디어를 짜낸다면 훌륭한 수업을 만드는 방법은 다양하게 개발될 수 있다고 믿는다. 실례를 들어 보면 각 교실마다 질문 공책을 한 권씩 마련해 놓고 학생들이 질문을 적어 놓으면 선생님께서 가져가셔서 답변을 적어 돌려주시는 경우도 있다. 수업 시간에 미처 다할 수 없는 부분을 해결하는 한 방법이 될 수도 있고 약간의 메모를 첨가한다면 훌륭한 대화의 장이 될 수도 있다.

http://tmath.or.kr

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수학 세상(Mathworld)

2011년 5월 6일 금요일

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수학사랑 1996년 여름호(제4호)

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